Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 1}$ comme ${(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.11.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Étape 1.11.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{3 {(2)}^{2}}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 ({({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 2}{{({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{{(2^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{6}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{3^{1}}$

Étape 1.13.4.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{6}{3}$

Étape 1.13.5

Divisez $6$ par $3$ .

$2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(2, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y - 3 = 2 x - 4$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 4 + 3$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$y = 2 x - 1$

Étape 3