Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2} - 7 x + 1$ , $(5, 16)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 16$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 7 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x - 7$ et $0$ .

$4 x - 7$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$4 (5) - 7$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 - 7$

Étape 1.6.2

Soustrayez $7$ de $20$ .

$13$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $13$ et un point donné, tel que $(5, 16)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 13 \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 16 = 13 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $13 \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 16 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 16 = 13 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 16 = 13 x + 13 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $13$ par $- 5$ .

$y - 16 = 13 x - 65$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 13 x - 65 + 16$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 65$ et $16$ .

$y = 13 x - 49$

Étape 3