Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(- 2, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 4 x$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$8 {({(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$8 {(- 8 - 4 \cdot - 2)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$8 {(- 8 + 8)}^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$8 \cdot 0^{7} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 \cdot 0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

Étape 1.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$0 (12 - 4)$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Soustrayez $4$ de $12$ .

$0 \cdot 8$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(- 2, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 0 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 0 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.2

Multipliez $0$ par $x + 2$ .

$y = 0$

Étape 3