Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 1.3

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.7

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.5.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $4$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Étape 2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Étape 2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = 4 x - π$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4 x - π + 1$

Étape 3