Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{5 x}$ at $(5, 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 {(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 {(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(5, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{1}{2} \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = \frac{1}{2} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 = \frac{1}{2} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y - 5 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 5$ .

$y - 5 = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 5 = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2} + 5$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 5 + 10}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Étape 3