Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 2) (x^{2} + 4)$ , $(1, - 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x - 2) (2 x) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 2$ .

$2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + 0)$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) \cdot 1$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$2 (x - 2) x + x^{2} + 4$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 4$

Étape 1.3.3.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 4$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 4$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 4$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 - 4 + 4$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1 + 4$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$3$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $3$ et un point donné, tel que $(1, - 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 3 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $3 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 5 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 5 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y + 5 = 3 x - 3$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = 3 x - 3 - 5$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$y = 3 x - 8$

Étape 3