Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x}{x - 1}$ at $(- 1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x - 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Étape 1.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- \frac{2}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(- 1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Étape 3