Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{5}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = e^{5}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $e^{5}$ .

$y = \ln ({(e^{5})}^{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln ({(e^{5})}^{4})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\ln ({(e^{5})}^{4})$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{5})}^{4}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (e^{5 \cdot 4})$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y = \ln (e^{20})$

Étape 1.2.2.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $20$ de l’exposant.

$y = 20 \ln (e)$

Étape 1.2.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y = 20 \cdot 1$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $20$ par $1$ .

$y = 20$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = e^{5}$ et $y = 20$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{4}{x^{4}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Étape 2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Étape 2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = e^{5}$ .

$\frac{4}{e^{5}}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{4}{e^{5}}$ et un point donné, tel que $(e^{5}, 20)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - (e^{5}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 20 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} x + \frac{4}{e^{5}} (- e^{5})$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{4}{e^{5}}$ et $x$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (- e^{5})$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $e^{5}$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $e^{5}$ à partir de $- e^{5}$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (e^{5} \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (e^{5} \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + 4 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} - 4$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{4 x}{e^{5}} - 4 + 20$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $20$ .

$y = \frac{4 x}{e^{5}} + 16$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{e^{5}} x + 16$

Étape 4