Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - 2 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Étape 1.3

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Étape 1.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y' + y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Étape 1.5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Étape 1.5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ par $2 x + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ par $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y + 2$ .

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Étape 1.5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.6.1

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Étape 1.5.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = - 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 2$ dans l’expression.

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Étape 1.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{6}{5}$

Étape 1.7.6

Multipliez $- - \frac{6}{5}$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $1$ .

$\frac{6}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{6}{5}$ et un point donné, tel que $(2, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{6}{5}$ et $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{6}{5}$ et $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $10$ de $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Étape 3