Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ et $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.3.5

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.5.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Étape 1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{9}$

Étape 1.3.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 1.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Étape 1.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 1.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{3}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Étape 2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Étape 2.3.3.8

Réécrivez $- (π - 6 \sqrt{3})$ comme $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Étape 2.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Étape 2.3.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Étape 3