Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ ; $x = 0$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 0$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $0$ .

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 1$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.2.3

Simplifiez $2 {(0)}^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 1$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 1$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$4 (0)$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(0, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $0 \cdot (x + 0)$ .

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + 1 = 0 \cdot x$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$y + 1 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4