Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.6.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.12

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.13

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.14.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.14.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.15

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.16

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.17

Associez $- 5$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.18

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 1.6.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 1.6.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Étape 1.6.1.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Étape 1.6.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- - \frac{10}{3}$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Étape 1.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 1.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Étape 1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Étape 1.6.5.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$\frac{7}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{7}{3}$ et un point donné, tel que $(- 1, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{7}{3}$ et $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $7$ et $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Étape 3