Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = \frac{1}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Soustrayez $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{9}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{9}$ et un point donné, tel que $(0, \frac{1}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{2}{9}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Étape 3