Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Étape 1.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' + 0$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $2 y y'$ et $0$ .

$2 y y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Étape 1.5.3

Factorisez $y y'$ à partir de $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y y'$ à partir de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ par $y (3 x^{2} y - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ par $y (3 x^{2} y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} y - 2$ .

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Étape 1.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 1.5.4.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Étape 1.5.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = - 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 1$ dans l’expression.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

Étape 1.7.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

Étape 1.7.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

Étape 1.7.4.3

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

Étape 1.7.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2}{5}$

Étape 1.7.6

Multipliez $- - \frac{2}{5}$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$\frac{2}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{5}$ et un point donné, tel que $(1, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

Étape 3