Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{25}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$25 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.4

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$- 50 x^{- 3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 50$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 50}{x^{3}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{50}{x^{3}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{50}{125}$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $125$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$- \frac{25 (2)}{125}$

Étape 1.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Étape 1.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Étape 1.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{5}$ et un point donné, tel que $(5, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Étape 3