Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- \frac{π}{3}$ .

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 1.2.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 1.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - \frac{π}{3}$ et $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - \frac{π}{3}$ .

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Étape 2.6.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Étape 2.6.3

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

Étape 2.6.4

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

Étape 2.6.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Étape 2.6.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$2 (- \sqrt{3})$

Étape 2.6.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 2 \sqrt{3}$ et un point donné, tel que $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Associez $\frac{π}{3}$ et $- 2$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Étape 3.3.1.4.2

Associez $\frac{π \cdot - 2}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.5.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $π$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

Étape 3.3.2.2

Ajoutez $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Étape 3.3.2.3

Associez les termes opposés dans $- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ et $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.2.3.2

Additionnez $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ et $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

Étape 3.3.2.3.3

Additionnez $- 2 \sqrt{3} x$ et $0$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

Étape 4