Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ at $x = 0$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 0$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $0$ .

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 2 (0) - 2$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 2$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x + 2$ et $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 2.6.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.6.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(0, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + 2 = 2 x$

Étape 3.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 2$

Étape 4