Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \frac{7}{x}$ at $x = 6$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 6$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $6$ .

$y = \frac{7}{6}$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{7}{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 6$ et $y = \frac{7}{6}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$7 (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 x^{- 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{x^{2}}$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 6$ .

$- \frac{7}{{(6)}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- \frac{7}{36}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{7}{36}$ et un point donné, tel que $(6, \frac{7}{6})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7}{6}) = - \frac{7}{36} \cdot (x - (6))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{7}{6} = - \frac{7}{36} \cdot (x - 6)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{7}{36} \cdot (x - 6)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{7}{6} = 0 + 0 - \frac{7}{36} \cdot (x - 6)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{7}{6} = - \frac{7}{36} x - \frac{7}{36} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{7}{36}$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} - \frac{7}{36} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{36}$ dans le numérateur.

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7}{36} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.2.3.2

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7}{6 (6)} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.2.3.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7}{6 \cdot 6} \cdot (6 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7}{6 \cdot 6} \cdot (6 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7}{6} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2.4

Associez $\frac{- 7}{6}$ et $- 1$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{- 7 \cdot - 1}{6}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{x \cdot 7}{36} + \frac{7}{6}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{7}{6} = - \frac{7 x}{36} + \frac{7}{6}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{7}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{7}{6} + \frac{7}{6}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 x}{36} + \frac{7 + 7}{6}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $7$ et $7$ .

$y = \frac{- 7 x}{36} + \frac{14}{6}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{14}{6}$

Étape 3.3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $6$ .

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Étape 3.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{2 (7)}{6}$

Étape 3.3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{7 x}{36} + \frac{7}{3}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{7}{36} x) + \frac{7}{3}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{7}{36} x + \frac{7}{3}$

Étape 4