Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Étape 1.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Étape 1.2.2.3

Divisez $2$ par $1$ .

$y = 1 + 2$

Étape 1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 2.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.3.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 2.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 2.3.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 2.3.14.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.14.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 2.3.15

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.3.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.17

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.18

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.19

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.3.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.6.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Étape 2.6.1.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Étape 2.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Étape 2.6.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(1, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Étape 4