Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 3$ et $y = - 9$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{x + 5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x + 5$ par $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $6$ et $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 3$ .

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$\frac{30}{2^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{30}{4}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 (15)}{4}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{15}{2}$ et un point donné, tel que $(- 3, - 9)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{15}{2}$ et $x$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{15}{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{15}{2}$ et $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $18$ de $45$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

Étape 3