Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4}$ at $x = - 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot 1$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = \frac{1}{6}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3})$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3}$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{4}{6}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6}$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{3}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{3}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Étape 2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{3}$ et un point donné, tel que $(- 1, \frac{1}{6})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 3.3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 2 + 1}{6}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 1}{6}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{6}$

Étape 3.3.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.6.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 3.3.2.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (- 1)}{6}$

Étape 3.3.2.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Étape 4