Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- 2 e^{0} \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Étape 1.7.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Étape 1.7.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 \cos (0)$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Étape 1.7.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 1.7.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 1.7.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(0, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x + 2$

Étape 3