Calcul infinitésimal Exemples

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{4} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$2 y y' + 12$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ par $2 y (2 y^{2} - 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ par $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2 y^{2} - 1$ .

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Étape 1.5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 1.5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2 \cdot 1^{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Étape 1.7.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Étape 1.7.3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Étape 1.7.3.7.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Étape 1.7.3.9

Divisez $0$ par $2$ .

$6 - 0$

Étape 1.7.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 + 0$

Étape 1.7.4

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $6$ et un point donné, tel que $(0, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6 x + 1$

Étape 3