Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{2} - x + 4$ at $x = - 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Étape 1.2

Simplifiez $- {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Étape 1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = {(- 1)}^{1 + 2} - (- 1) + 4$

Étape 1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = {(- 1)}^{3} - (- 1) + 4$

Étape 1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1 - (- 1) + 4$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - 1 + 1 + 4$

Étape 1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = 0 + 4$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x - 1 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 2 x - 1$ et $0$ .

$- 2 x - 1$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 - 1$

Étape 2.6.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(- 1, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 1 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$y - 4 = x + 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x + 1 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = x + 5$

Étape 4