Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez $3$ et $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3.3.6

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 3