Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.2.5

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (7 x)$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

Étape 1.3.6

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $7$ par $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $14$ par $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $14$ par $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

Étape 1.6.1.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Étape 1.6.1.9

Multipliez $7$ par $1$ .

$0 + 7$

Étape 1.6.2

Additionnez $0$ et $7$ .

$7$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $7$ et un point donné, tel que $(0, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = 7 x$

Étape 3