Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Étape 1.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Étape 1.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Étape 1.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Étape 1.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' - x^{2} y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ par $2 y - x^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ par $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x y + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $6$ dans l’expression.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Étape 1.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Étape 1.7.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Étape 1.7.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Étape 1.7.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Étape 1.7.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $12$ et $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Étape 1.7.5.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$\frac{15}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{15}{4}$ et un point donné, tel que $(2, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{15}{4}$ et $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{15}{2}$ et $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 15$ et $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Étape 3