Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ , $(4, - 2 \sqrt{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = - 2 \sqrt{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Étape 1.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Étape 1.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $18 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.4

Factorisez.

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Étape 1.5.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 1.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ par $2 y (x + 2) (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ par $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.5.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.2.4.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 1.5.5.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Étape 1.5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = - 2 \sqrt{3}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{y (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{y ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 2 \sqrt{3}$ dans l’expression.

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{9 (4)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.3

Multipliez $9$ par $4$ .

$- \frac{(- 2 \sqrt{3}) (4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.4.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $(4) + 2$ .

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Étape 1.7.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $(- 2 \sqrt{3}) (4)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{((4) + 2) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $((4) + 2) ((4) - 2)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 4)}{2 ((2 + 1) ((4) - 2))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $(4) - 2$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- \sqrt{3} \cdot 4$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{(2 + 1) ((4) - 2)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 + 1) ((4) - 2)$ .

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (- \sqrt{3} \cdot 2)}{2 ((2 + 1) (2 - 1))} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{(2 + 1) (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.4.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 (2 - 1)} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.4.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 \cdot 1} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.7

Multipliez $- - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.7.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.7.2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{36}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.8

Annulez le facteur commun à $36$ et $- 2$ .

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Étape 1.7.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(- 2 \sqrt{3}) ((4) + 2) ((4) - 2)$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 (18)}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Étape 1.7.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 18}{2 (- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2))}$

Étape 1.7.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{18}{- \sqrt{3} ((4) + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.9

Annulez le facteur commun à $18$ et $(4) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- \sqrt{3} (4 + 2) ((4) - 2)$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Étape 1.7.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2))}$

Étape 1.7.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} (2 + 1) ((4) - 2)}$

Étape 1.7.4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.10.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- \sqrt{3} \cdot 3 (4 - 2)}$

Étape 1.7.4.10.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} (4 - 2)}$

Étape 1.7.4.10.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 3 \sqrt{3} \cdot 2}$

Étape 1.7.4.10.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{9}{- 6 \sqrt{3}}$

Étape 1.7.4.11

Annulez le facteur commun à $9$ et $- 6$ .

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Étape 1.7.4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{- 6 \sqrt{3}}$

Étape 1.7.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (3)}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 1.7.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 1.7.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3}{- 2 \sqrt{3}}$

Étape 1.7.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.7.4.13

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.7.4.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.14.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.7.4.14.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 1.7.4.14.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 1.7.4.14.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 1.7.4.14.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.7.4.14.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.7.4.14.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.7.4.14.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.7.4.14.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.7.4.14.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.7.4.14.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.4.14.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.7.4.14.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 1.7.4.14.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.7.4.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.4.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.7.4.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7.5

Pour écrire $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7.6

Pour écrire $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.7.7.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 1.7.7.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 1.7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 1.7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 1.7.9.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.7.9.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{\sqrt{3}}{6}$ et un point donné, tel que $(4, - 2 \sqrt{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 \sqrt{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{6}$ et $x$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $- 2$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 2 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 2 \sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 2 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2.5.1.2

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3