Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{1^{2}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\frac{5}{{(1)}^{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{5}{1}$

Étape 1.2.3.2

Divisez $5$ par $1$ .

$y = 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$5 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 10 x^{- 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 10}{x^{3}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{x^{3}}$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{10}{{(1)}^{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{10}{1}$

Étape 2.7.2

Divisez $10$ par $1$ .

$- 1 \cdot 10$

Étape 2.7.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 10$ et un point donné, tel que $(1, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 10 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 10 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 - 10 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - 10 x - 10 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$y - 5 = - 10 x + 10$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 10 x + 10 + 5$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $10$ et $5$ .

$y = - 10 x + 15$

Étape 4