Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Étape 1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 1.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 2 y y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.5.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 1.5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Étape 1.7.3

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Étape 1.7.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Étape 1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{3}$

Étape 1.7.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 1 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - x + 2$

Étape 3