Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{1}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 1 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - x + 2$

Étape 4