Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sqrt{x}$ at $(4, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.13.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.13.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.13.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 1.13.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{2^{1 + 1}}$

Étape 1.13.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{2^{2}}$

Étape 1.13.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(4, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Étape 2.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} - 3$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 6$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 3$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{4} x + 3$

Étape 3