Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(5 x + 1)}^{2}$ comme $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Étape 1.2

Développez $(5 x + 1) (5 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $5 x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Étape 1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Étape 1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 x^{2} + 10 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.7

Multipliez $2$ par $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.10

Multipliez $10$ par $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Étape 1.12

Additionnez $50 x + 10$ et $0$ .

$50 x + 10$

Étape 1.13

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Étape 1.14

Simplifiez

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Étape 1.14.1

Multipliez $50$ par $0$ .

$0 + 10$

Étape 1.14.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$10$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $10$ et un point donné, tel que $(0, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 10 x + 1$

Étape 3