Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{| x |}{\sqrt{5 - x^{2}}}$ , $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x^{2}}$ comme ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{| x |}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |] - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |] - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |] - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |] - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - x^{2})}^{1}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |] - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - x^{2}}$

Étape 1.5

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{| x |} - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - x^{2}}$

Étape 1.6

Associez ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - x^{2}}$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - x^{2}}$ par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{| x |}{| x |} \cdot \frac{\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - x^{2}}$

Étape 1.8

Associez.

$\frac{| x | (\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} - | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{| x | \frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} + | x | (- | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| x | \frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{| x |} + | x | (- | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + | x | (- | x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.11

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x \cdot x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{1} x | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{1} x^{1} | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{1 + 1} | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.16

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - x^{2}$ .

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Étape 1.16.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - x^{2}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.16.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.16.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - x^{2}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.17

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.18

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.20.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.20.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.21

Associez les fractions.

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Étape 1.21.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.21.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{{(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.21.3

Placez ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - | x^{2} | (\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.21.4

Associez $\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $| x^{2} |$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.22

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.23

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.24

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.25

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.26

Multipliez.

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Étape 1.26.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.26.2

Multipliez $\frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.27

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.28

Simplifiez les termes.

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Étape 1.28.1

Associez $2$ et $\frac{| x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 | x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.28.2

Associez $\frac{2 | x^{2} |}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 | x^{2} | x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.28.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 | x^{2} | x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.28.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{| x^{2} | x}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.28.5

Remettez dans l’ordre $5$ et $- x^{2}$ .

$\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.29

Pour écrire $x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.31

Multipliez ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.31.1

Déplacez ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x ({(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.31.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.31.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.31.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2}} + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.31.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x {(- x^{2} + 5)}^{1} + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.32

Simplifiez $x {(- x^{2} + 5)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.33

Réécrivez $\frac{\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{| x | (5 - x^{2})}$ comme un produit.

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{| x | (5 - x^{2})}$

Étape 1.34

Multipliez $\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{| x | (5 - x^{2})}$ .

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (| x | (5 - x^{2}))}$

Étape 1.35

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (| x | (- x^{2} + 5))}$

Étape 1.36

Multipliez ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 5$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.36.1

Déplacez $- x^{2} + 5$ .

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{(- x^{2} + 5) {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} | x |}$

Étape 1.36.2

Multipliez $- x^{2} + 5$ par ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.36.2.1

Élevez $- x^{2} + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{1} {(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} | x |}$

Étape 1.36.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{1 + \frac{1}{2}} | x |}$

Étape 1.36.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} | x |}$

Étape 1.36.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}} | x |}$

Étape 1.36.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x (- x^{2} + 5) + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37

Simplifiez

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Étape 1.37.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.37.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.37.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x \cdot x^{2} + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.37.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} x) + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.37.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x^{2} x^{1}) + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{2 + 1} + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x^{3} + x \cdot 5 + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{- x^{3} + 5 \cdot x + x | x^{2} |}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.4

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{- x^{3} + 5 x + x \cdot x^{2}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.37.2.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.37.2.1.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- x^{3} + 5 x + x^{1} x^{2}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 5 x + x^{1 + 2}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- x^{3} + 5 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.2

Associez les termes opposés dans $- x^{3} + 5 x + x^{3}$ .

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Étape 1.37.2.2.1

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{5 x + 0}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.37.2.2.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$\frac{5 x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | x |}$

Étape 1.38

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{5 (2)}{{(- {(2)}^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | 2 |}$

Étape 1.39

Simplifiez

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Étape 1.39.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{{(- 2^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} | 2 |}$

Étape 1.39.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.39.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.39.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{10}{{(- 1 \cdot 4 + 5)}^{\frac{3}{2}} | 2 |}$

Étape 1.39.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{10}{{(- 4 + 5)}^{\frac{3}{2}} | 2 |}$

Étape 1.39.2.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$\frac{10}{1^{\frac{3}{2}} | 2 |}$

Étape 1.39.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{10}{1^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.39.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10}{1 \cdot 2}$

Étape 1.39.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.39.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{10}{2}$

Étape 1.39.3.2

Divisez $10$ par $2$ .

$5$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $5$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 5 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 5 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $5 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = 5 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = 5 x + 5 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$y - 2 = 5 x - 10$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5 x - 10 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 10$ et $2$ .

$y = 5 x - 8$

Étape 3