Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 - \sin (x)$ at $x = π$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = π$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $π$ .

$y = 2 - \sin (π)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 - \sin (π)$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 - \sin (π)$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$y = 2 - \sin (0)$

Étape 1.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$y = 2 - 0$

Étape 1.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 2 + 0$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = π$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 - \cos (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$- \cos (x)$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = π$ .

$- \cos (π)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (0)$

Étape 2.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(π, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (π))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 1 \cdot (x - π)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $x - π$ par $1$ .

$y - 2 = x - π$

Étape 3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - π + 2$

Étape 4