Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ ; $x = 4$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \sqrt{4}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{4}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.9

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.10.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.10.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.10.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.10.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.10.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Étape 2.10.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Étape 2.10.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(4, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 2 = \frac{x}{4} - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} - 1 + 2$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = \frac{x}{4} + 1$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x + 1$

Étape 4