Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{4 + x}$ , $(1, \frac{1}{5})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{1}{5}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(4 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $4 + x$ .

$\frac{2 \cdot (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{8 x + x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 8 x$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$\frac{x (x + 8)}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 8)}{{((1) + 4)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $1 + 8$ par $1$ .

$\frac{1 + 8}{{(1 + 4)}^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{1 + 8}{5^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + 8}{25}$

Étape 1.5.3

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{9}{25}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{9}{25}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{1}{5})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{5}) = \frac{9}{25} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{9}{25} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 + \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} x + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{9}{25}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{9}{25} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{9}{25}$ et $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9}{25}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{5}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{5 \cdot 5}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{25}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9 + 5}{25}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 4}{25}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{4}{25}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{9}{25} x - \frac{4}{25}$

Étape 3