Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = π$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $π$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $10$ par $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Étape 1.2.3

Simplifiez $(π) \sin (10 (π))$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$y = π \cdot 0$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = π$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 10 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $10$ à gauche de $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\sin (10 x)$ par $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Étape 2.3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Étape 2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Étape 2.5.1.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Étape 2.5.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$10 π + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $10 π$ et $0$ .

$10 π$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $10 π$ et un point donné, tel que $(π, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Étape 3.3.2

Simplifiez $10 π \cdot (x - π)$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $10 π (- π)$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Étape 3.3.2.2.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Étape 3.3.2.2.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Étape 3.3.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Étape 3.3.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Étape 4