Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x^{3} + 3}$ at $(1, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 3}$ comme ${(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} + 3$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.11

Associez les fractions.

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Étape 1.11.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Étape 1.11.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{3}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {({(1)}^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(1^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.13.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(1 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.13.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 1.13.2.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.13.3

Multipliez.

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Étape 1.13.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.13.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{3}{4} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 1$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

Étape 3