Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(4, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(y - 3)}^{2}$ comme $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Étape 1.2.5

Développez $(y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Étape 1.2.7

Différenciez.

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Étape 1.2.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.2.8.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.8.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.2.10.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.10.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.10.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.10.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.10.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.11

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Étape 1.2.11.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 y$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.11.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.12

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Étape 1.2.13

Simplifiez

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Étape 1.2.13.1

Associez des termes.

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Étape 1.2.13.1.1

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Étape 1.2.13.1.2

Additionnez $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ et $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Étape 1.2.13.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Étape 1.3

Comme $37$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $37$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' - 6 y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ par $2 (y - 3)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ par $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Étape 1.5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = 4$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{(4) + 2}{y - 3}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{(4) + 2}{(4) - 3}$

Étape 1.7.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \frac{6}{4 - 3}$

Étape 1.7.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- \frac{6}{1}$

Étape 1.7.5

Divisez $6$ par $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Étape 1.7.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 6$ et un point donné, tel que $(4, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 6 \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 6 \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$y - 4 = - 6 x + 24$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 6 x + 24 + 4$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $24$ et $4$ .

$y = - 6 x + 28$

Étape 3