Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x}$ at $(9, \frac{4}{9})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 9$ et $y = \frac{4}{9}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 9$ .

$- \frac{4}{{(9)}^{2}}$

Étape 1.7

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4}{81}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{4}{81}$ et un point donné, tel que $(9, \frac{4}{9})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = - \frac{4}{81} \cdot (x - (9))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} x - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{4}{81}$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{81}$ dans le numérateur.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{81} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 (9)} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 4}{9}$ et $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4 \cdot - 1}{9}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{4}{9}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{4}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{4 + 4}{9}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{81} x) + \frac{8}{9}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{81} x + \frac{8}{9}$

Étape 3