Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = x^{3} - 6 x - 3$ at $(- 2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x - 3)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez.

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Étape 1.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 + 0$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 6$ et $0$ .

$3 x^{2} - 6$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 3 x^{2} - 6$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} - 6$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} - 6$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y)}$

Étape 1.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 3}{y}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = - 2$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 1.7.3.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.4

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.1.6.3

Divisez $3 \cdot 2$ par $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 - \frac{3}{1}$

Étape 1.7.3.3

Divisez $3$ par $1$ .

$6 - 1 \cdot 3$

Étape 1.7.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 - 3$

Étape 1.7.4

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $3$ et un point donné, tel que $(- 2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $3 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$y - 1 = 3 x + 6$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3 x + 6 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$y = 3 x + 7$

Étape 3