Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 0$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $0$ .

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3

Simplifiez $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$y = - 2 (0 + 3)$

Étape 1.2.3.2.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$y = - 2 \cdot 3$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = - 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = - 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ et $g (x) = - 2 x + 3$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ .

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.8

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.13

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 2.2.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

Étape 2.2.15

Additionnez $- 10 x + 5$ et $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.4

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.9

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.10

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

Étape 2.3.5.11

Multipliez $3$ par $5$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

Étape 2.3.5.12

Soustrayez $10 x$ de $- 30 x$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

Étape 2.3.5.13

Additionnez $10 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

Étape 2.3.5.14

Soustrayez $40 x$ de $- 10 x$ .

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

Étape 2.3.5.15

Additionnez $4$ et $15$ .

$30 x^{2} - 50 x + 19$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 50$ par $0$ .

$0 + 0 + 19$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 19$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $19$ .

$19$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $19$ et un point donné, tel que $(0, - 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + 6 = 19 x$

Étape 3.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = 19 x - 6$

Étape 4