Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x}$ at $(- 8, - \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 8$ et $y = - \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = - 8$ .

$- \frac{4}{{(- 8)}^{2}}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4}{64}$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $64$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{64}$

Étape 1.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Étape 1.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Étape 1.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{16}$ et un point donné, tel que $(- 8, - \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 8))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 8)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{16} \cdot (x + 8)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 8)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 8)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 8$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 8$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot 8$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8 (2)} \cdot 8$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8 \cdot 2} \cdot 8$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x}{16} + \frac{- 1 - 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y = \frac{- x}{16} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.4.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$y = - \frac{x}{16} - 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{16} x) - 1$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{16} x - 1$

Étape 3