Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$8 \cos (x)$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{6}$ .

$8 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sqrt{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $4 \sqrt{3}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{6}, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Étape 2.3.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Étape 2.3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{- π}{3}$ et $2$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

Étape 2.3.1.7

Associez $\frac{- 2 π}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.3.2

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Étape 2.3.3.8

Réécrivez $- (2 π \sqrt{3} - 12)$ comme $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Étape 2.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

Étape 3