Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

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Étape 1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = e^{1 - 1}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = e^{0}$

Étape 1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

Étape 2.2.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

Étape 2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Étape 2.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 e^{1 - 1}$

Étape 2.5.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3 e^{0}$

Étape 2.5.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.5.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $3$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $3 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3 x - 3 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$y = 3 x - 2$

Étape 4