Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 4$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.4

Comme $- 19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Additionnez $2 x - 2 y y' - 3$ et $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Étape 1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Étape 1.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = - 2 x + 3$ par $- 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = - 2 x + 3$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = - 4$ sur $y = 3$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $3$ dans l’expression.

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Étape 1.7.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 1.7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.4

Pour écrire $- \frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.5

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.7.6.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 1.7.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 1.7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Étape 1.7.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.8.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Étape 1.7.8.2

Soustrayez $3$ de $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Étape 1.7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{11}{6}$ et un point donné, tel que $(- 4, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{6}$ dans le numérateur.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 11}{3}$ et $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $11$ à gauche de $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Étape 2.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 22$ et $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Étape 3