Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{4}{9}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{4}{9}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{4}{9}$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{2}{\sqrt{9}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{2}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{4}{9}$ et $y = \frac{2}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.9

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.2.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.10.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Étape 2.10.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Étape 2.10.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{1}}}$

Étape 2.10.1.3.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.10.2

Associez les fractions.

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Étape 2.10.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 2.10.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{4})$

Étape 2.10.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(\frac{4}{9}, \frac{2}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (x - (\frac{4}{9}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{9}$ dans le numérateur.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{9}$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 (3)}$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Étape 3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{3}$

Étape 3.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Étape 3.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{2}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1 + 2}{3}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{3}$

Étape 4