Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} + 5 y^{2} = 36$ , $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y y')$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 x^{3} + 10 y y'$

Étape 1.3

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x^{3} + 10 y y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $4 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$10 y y' = - 4 x^{3}$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $10 y y' = - 4 x^{3}$ par $10 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $10 y y' = - 4 x^{3}$ par $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{10 y}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{5 y}$

Étape 1.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Étape 1.7.3

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 1.7.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2^{1} {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Étape 1.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2^{1 + 3}}{5 (2)}$

Étape 1.7.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{2^{4}}{5 (2)}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $2^{4}$ et $2$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{4}$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{5 (2)}$

Étape 1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $5 (2)$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2^{3}}{5}$

Étape 1.7.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{8}{5}$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{8}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - \frac{8}{5} x - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{8}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + 2 (\frac{8}{5})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{16}{5}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y - 2 = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 10}{5}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $16$ et $10$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{26}{5}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{8}{5} x) + \frac{26}{5}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{8}{5} x + \frac{26}{5}$

Étape 3