Calcul infinitésimal Exemples

$y = 14 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 7 π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ et $y = 7 π$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$14 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$14 (x \cos (x) + \sin (x))$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$14 x \cos (x) + 14 \sin (x)$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{2}$ .

$14 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$2 (7) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 7 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$7 π \cos (\frac{π}{2}) + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$7 π \cdot 0 + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $7 π \cdot 0$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Multipliez $0$ par $7$ .

$0 π + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$0 + 14 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 14 \cdot 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $14$ par $1$ .

$0 + 14$

Étape 1.7.2

Additionnez $0$ et $14$ .

$14$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $14$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{2}, 7 π)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7 π) = 14 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 7 π = 14 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $14 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 7 π = 0 + 0 + 14 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 7 π = 14 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 7 π = 14 x + 14 (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$y - 7 π = 14 x + 14 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$y - 7 π = 14 x + 2 (7) \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 7 π = 14 x + 2 \cdot 7 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 7 π = 14 x + 7 (- π)$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y - 7 π = 14 x - 7 π$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $7 π$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 14 x - 7 π + 7 π$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $14 x - 7 π + 7 π$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- 7 π$ et $7 π$ .

$y = 14 x + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$y = 14 x$

Étape 3